Question

若函数f（x）=x³-x²+ax-2在区间[

1

6

，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用当时的运算法则求出f（x）的导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0在[

1

6

，+∞)恒成立
分离出参数a，构造函数，求出函数的最大值，求出a的范围．

解答：解：∵f′（x）=3x²-2x+a
∵f（x）=x³-x²+ax-2在区间[

1

6

，+∞)内是增函数
∴f′（x）=3x²-2x+a≥0在区间[

1

6

，+∞)恒成立
∴a≥-3x²+2x在区间[

1

6

，+∞)恒成立
令y=-3x²+2x，[

1

6

，+∞)
∴x=

1

3

时，y有最大值为

1

3

∴a≥

1

3

故答案为：a≥

1

3

．

点评：解决函数的单调性已知求参数范围的题目，常转化为导函数大于等于0恒成立（导函数小于等于0）恒成立；解决不等式恒成立问题，常分离出参数转化为求函数的最值问题．