题目内容

已知二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x≠-
1
a
}且a＞b，则
a2+b2
a-b
的最小值为（　　）
A、1
B、
2
C、2
D、2
2
分析：由二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x≠-
1
a
}可得△=4-4ab=0?ab=1且a-b＞0
而
a2+b2
a-b
=
(a-b)2+2ab
a-b
=
2
a-b
+a-b利用基本不等式可求最小值．
解答：解：∵二次不等式的ax2+2x+b＞0解集为{x|x≠-
1
a
}且a＞b
∴△=4-4ab=0?ab=1  且a-b＞0
∴
a2+b2
a-b
=
(a-b)2+2ab
a-b
=
2
a-b
+a-b≥2
2
a-b
•(a-b)
=2
2

当且仅当a-b=
2
a-b
，ab=1时取等号
故选D
点评：本题主要由一元二次不等式的解集的存在情况为切入点，考查了利用基本不等式求解最值的问题，解决问题的关键是要注意ab=1的灵活运用，使得所要求的式子配凑成基本不等式所要求的“一正”“二定”“三相等”的形式．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）在各项均不为零的数列{cn}中，若ci•ci+1＜0，则称ci，ci+1为这个数列{cn}一对变号项．令cn=1-
aan
（n为正整数），求数列{cn}的变号项的对数．
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和Sn=f（n），
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）试构造一个数列{bn}，（写出{bn}的一个通项公式）满足：对任意的正整数n都有bn＜an，且
lim
n→∞
an
bn
=2，并说明理由；
（3）设各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci-ci+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{cn}的变号数．令cn=1-
a
an
（n为正整数），求数列{cn}的变号数．
已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，并求出极值点．
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（ x1）＞f（ x2）成立．设数列{an}的前n项和 Sn=f（n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{ an}的通项公式．
已知二次函数f（x）=x2-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立，则实数a=
4
4
；又设数列{an}的前n项和Sn=f（n），cn=1-
aan
（n∈N*），则所有满足ci•ci+1＜0的正整数i的个数为
3
3
．

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