Question

已知函数f(x)=x+alnx+

a+1

x

，函数g（x）=ax²-9a-1．
（Ⅰ）当a=-3时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＜-4时，A=[

1

3

，3]．
（i）求函数f（x）在A上的最大值；
（ii）若存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-3代入函数解析式，求导函数后分别由导函数大于0和小于0求解原函数的增区间和减区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，由a＜-4可知A=[

1

3

，3]为原函数的减区间的子集，则函数在A上的最大值可求，
再求出函数g（x）在A上的值域，经分析在集合A上f（x）的最大值小于g（x）的最大值，所以存在x₁，x₂∈A，
使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立转化为f（x）的最大值与g（x）的最小值差的绝对值小于6求解a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-3时，f(x)=x-3lnx-

2

x

，函数的定义域为（0，+∞）．
f′(x)=1-

3

x

+

2

x2

=

x2-3x+2

x2

，
由f^′（x）＞0，得x²-3x+2＞0，所以x＜1或x＞2，则当1＜x＜2时f^′（x）＜0，
所以函数的增区间为（0，1），（2，+∞）．减区间为（1，2）．
（Ⅱ）f′(x)=1+

a

x

-

a+1

x2

=

x2+ax-a-1

x2

=

(x+a+1)(x-1)

x2

，
因为a＜-4，所以-a-1＞3，
所以在（0，1），（-a-1，+∞）上函数为增函数，在（1，-a-1）上为减函数，
（i）由函数的单调性知，函数在[

1

3

，1]上增，在[1，3]上减
所以函数f（x）在A上的最大值为f（1）=1+a+1=a+2；
（ii）对于函数g（x）=ax²-9a-1，因为a＜-4，所以其对称轴方程为x=0，函数g（x）在[

1

3

，3]上为减函数，
所以其值域为[-1，-

80

9

a-1]，
因为当a＜-4时-

80

9

a-1＞3a-aln3+

10

3

，所以存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立，
只需|3a-aln3+

10

3

-(-1)|＜6成立即可，即-

31

3(3-ln3)

＜a＜

5

3(3-ln3)

，
所以，若存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立的实数a的取值范围是(-

31

3(3-ln3)

，-4)．

点评：本题考查了利用到函数研究函数的单调性，考查了函数恒成立的问题，解答此题的关键是运用数学转化思想，把
存在x₁，x₂∈A，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜6成立转化为两函数的最值差的绝对值小于6，此题有一定难度．