Question

（2007•天津一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，

AB

•

AF

=6-4

3

，∠BAF=150°．
（1）求双曲线的方程；
（2）设Q是双曲线上的点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若

MQ

+2

QF

=

0

，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用数量积及其夹角公式及其双曲线的性质即可得出；
（2）由于点F的坐标为(2

2

，0)，可设直线l的方程为y=k(x-2

2

)，利用向量相等及其把点Q的坐标代入双曲线方程即可．

解答：解：（1）由条件知A（a，0），B（0，b），F（c，0）

AB • AF =(a，b)•(c-a，0)-a(a-c)=6-4 3 cos∠BAF= AB • AF | AB |•| AF | = a(a-c) c(c-a) =- a c =cos150°- 3 2

，
∴a=

3

2

c，代入a(a-c)=6-4

3

中得c=2

2

．
∴a=

6

，b2=c2-a2=2
若双曲线的方程为

x2

6

-

y2

2

=1．
（2）∵点F的坐标为(2

2

，0)，
∴可设直线l的方程为y=k(x-2

2

)，
即M(0，-2

2

k)．
设Q（m，n），则由

MQ

+2

QF

=

0

．
得(m，n+2

2

)+2(2

2

-m，-n)=(0，0)，
即(4

2

-m，2

2

k-n)=(0，0)，即

m=4 2 n=2 2 k

，

∵ m2 6 - n2 2 =1 ∴ (4 2 )2 6 - (2 2 k)2 2 =1 得k2= 13 12 ，k=± 39 6

故直线l的斜率为±

39

6

．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、数量积运算及其夹角公式、直线及点与双曲线的关系等是解题的关键．