Question

（08年鹰潭市一模理）（14分）已知函数满足，，；且使成立的实数只有一个。

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）若数列满足，，，，证明数列 是等比数列，并求出的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，如果,

,证明：，。

Answer 1

解析：（Ⅰ）由，，，得.…1分

由，得.…………2分

由只有一解，即，也就是只有一解，

∴∴.…………3分

∴.故.…………………4分

（Ⅱ）解法一:∵，，∴，

，，……………5分

猜想，.……………6分

下面用数学归纳法证明：

1⁰ 当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立. ……………7分

2⁰ 假设n=k时，命题成立，即；当 n=k+1时，，

∴当 n=k+1时，命题成立. ………………8分

由1⁰，2⁰可得，当时，有.……………9分

∵，∴

∴是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为.………10分

解法二:∵， ∴………5分

即,………8分

∴………9分

,………10分

（Ⅲ）当为偶数时,

即………………12分

∴

即.…………………14分