Question

6．以双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（　　）

• A． π
• B． 3π
• C． 6π
• D． 9π

Answer 1

分析 因双曲线的焦点在x轴上，所以其右焦点坐标为（c，0），渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{a}$x，故满足要求的圆的半径为右焦点到渐近线的距离，求解圆的面积即可．

解答 解：由题意双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1，知圆的半径等于右焦点（c，0）到其中一条渐近线 y=$\frac{\sqrt{3}}{a}$x的距离，
根据点到直线的距离公式得：
R=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{a}×\sqrt{{a}^{2}+3}|}{\sqrt{\frac{3}{{a}^{2}}+1}}$=$\sqrt{3}$．解得a²=3，
圆的面积为：（$\sqrt{3}$）²π=3π
故选：B．

点评 本小题主要考查双曲线的简单性质、圆与圆锥曲线的综合、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．