题目内容

等比数列{a_n}为递增数列，且 $数学公式$ ， $数学公式$ ，数列 $数学公式$ （n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2） $数学公式$ ，求使T_n＞0成立的最小值n．

解：（1）∵{a_n}是等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，两式相除得： $\text{[math]}$
∴q=3或 $\text{[math]}$ ，
∵{a_n}为递增数列，∴q=3， $\text{[math]}$ -------（4分）
∴ $\text{[math]}$ --------（6分）
∴ $\text{[math]}$ ，数列{b_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ---（8分）
（2） $\text{[math]}$ =（1-5）+（2-5）+（2²-5）+…（2^n-1-5）= $\text{[math]}$
即：2ⁿ＞5n+1-------（12分）
∵2⁴＜5×4+1，2⁵＞5×4+1
∴n_min=5--------（14分）
分析：（1）根据{a_n}是等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，建立方程组，从而可求数列的公比，由此可得数列的通项，进而可求数列的和；
（2）先求T_n，可得2ⁿ＞5n+1，从而可求使T_n＞0成立的最小值n．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查解不等式，确定数列的通项是关键．

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定义：若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项公式及T_n关于n的表达式．
（Ⅲ）记bn=log(1+2an)Tn，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2010的n的最小值．

（2012•石景山区一模）定义：若数列{A_n}满足An+1=An2，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
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①若{a_n}是等比数列，则{a_n}为1阶递归数列；
②若{a_n}是等差数列，则{a_n}为2阶递归数列；
③若数列{a_n}的通项公式为an=n2，则{a_n}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（　　）

已知数列{a_n}的递推公式为

（n∈N^*），
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

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