Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=6，a₅=-2
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

1

n(10-an)

(n∈N*)，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*，均有Tn＞

m

32

成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求数列{a_n}的通项公式，可由等差数列{a_n}中，a₁=6，a₅=-2结合等差数列的通项公式形式求出；
（II）先化简出bn=

1

n(10-an)

(n∈N*)，可变为

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)帮其前n和可用裂项法求和，求出T_n，再由不等式Tn＞

m

32

恒成立，即可得到

n

n+1

＞

m

16

恒成立，求出m的取值范围即可得到m最大的整数．

解答：解：（1）由题意{a_n}为等差数列，设公差为d
由题意得-2=6+4d?d=-2，
∴a_n=6+（n-1）（-2）=8-2n．
（2）∵b_n=

1

n(10-an)

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴T_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

n

2(n+1)

若T_n＞

m

32

对任意n∈N+成立，即

n

n+1

＞

m

16

对任意n∈N+成立
∵

n

n+1

(n∈N*)的最小值是

1

2

，
∴

m

16

＜

1

2

，
∴m的最大整数值是7．
即存在最大整数m=7，使对任意n∈N^*，均有T_n＞

m

32

．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合题目，本题解题的关键是根据函数的恒成立问题做出函数的最小值，然后进行运算．