Question

已知函数f(x)=

x2

mx+n

（m，n为常数），且关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x₁=3，x₂=4．
（1）求m，n的值；
（2）设t＞1，试解关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．

Answer 1

（1）由题意得：x-12=

x2

mx+n

，
化简得：（m-1）x²+（n-12m）x-12n=0，
又关于x的方程f（x）=x-12有两个实数根x₁=3，x₂=4，
∴

- n-12m m-1 =7 - 12n m-1 =12

，
∴m=-1，n=2．
（2）此时，f(x)=

x2

2-x

，
∴关于x的不等式：（2-x）f（x）＜（t+1）x-t．
即（2-x）

x2

2-x

＜（t+1）x-t，
化简得：x²-（t+1）x+t＜0（x≠2），
即（x-t）（x-1）＜0（x≠2），
①当1＜t≤2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t}；
②当t＞2时，不等式的解集为：{x|1＜x＜t且x≠2}．