题目内容

已知函数f（x）=2sin（ $数学公式$ x- $数学公式$ ），x∈R
（1）求f（ $数学公式$ ）的值；
（2）设α，β∈[0， $数学公式$ ]，f（3α+ $数学公式$ ）= $数学公式$ ，f（3β+2π）= $数学公式$ ，求cos（α+β）的值．

解：（1）把x= $\text{[math]}$ 代入函数解析式得：
f（ $\text{[math]}$ ）=2sin（ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）由f（3α+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，f（3β+2π）= $\text{[math]}$ ，代入得：
2sin[ $\text{[math]}$ （3α+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=2sinα= $\text{[math]}$ ，2sin[ $\text{[math]}$ （3β+2π）- $\text{[math]}$ ]=2sin（β+ $\text{[math]}$ ）=2cosβ= $\text{[math]}$
sinα= $\text{[math]}$ ，cosβ= $\text{[math]}$ ，又α，β∈[0， $\text{[math]}$ ]，
所以cosα= $\text{[math]}$ ，sinβ= $\text{[math]}$ ，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把x= $\text{[math]}$ 代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应的函数值；
（2）分别把x=3α+ $\text{[math]}$ 和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
点评：此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．