Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A、?x∈R，sin2

  x

  2

  +cos2

  x

  2

  =

  1

  2

• B、?x∈（0，π），sinx＞cosx
• C、?x∈R，x²+x=-1
• D、?x∈（0，+∞），e^x＞1+x

Answer 1

分析：根据同角三角函数的平方关系，我们可以判断A的正误；
正弦函数和余弦函数的图象与性质，我们可以判断B的真假；
解一元二次不等式，可以判断C的正误；
根据指数函数y=e^x和y=1+x图象特征，我们可判断D的对错，进而得到答案．

解答：解：对于A，由同角三角函数和平方关系，我们知道?x∈R，sin2

x

2

+cos2

x

2

=1，所以A为假命题；
    对于B，取特殊值：当时x=

π

4

时，sinx=cosx=

2

2

，所以B为假命题；
    对于C，一元二次方程根的判别式△=1-4=-3＜0，所以原方程没有实数根，所以C为假命题；
    对于D，构造函数y=e^x-x，x∈（0，+∞）
   求出导数：y^/=e^x-1，可得当时y^/＜0，函数为减函数，
     当x∈（1，+∞）时y^/＞0，函数为增函数，
     所以当x=1时函数的最小值为e-1，即?x∈（0，+∞），e^x-x≥e-1＞1，
     移项，得e^x＞1+x，因此“?x∈（0，+∞），e^x＞1+x”是真命题
     故选D

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中利用函数的性质，逐一分析四个结论的正误是解答本题的关键．