Question

设函数f(x)=

lnx

1+x

-lnx+ln(x+1)．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，讨论满足fˊ（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，求出极值．
（2）对a进行讨论，当a≤0时，f（x）＞0恒成立，关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）符合题意．当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x(1+x)

-

lnx

(1+x)2

-

1

x

+

1

x+1

=-

lnx

(1+x)2

．（2分）
故当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（4分）
由此知f（x）在（0，+∞）的极大值为f（1）=ln2，没有极小值．（6分）
（Ⅱ）（ⅰ）当a≤0时，
由于f(x)=

(1+x)ln(1+x)-xlnx

1+x

=

ln(1+x)+x[ln(1+x)-lnx]

1+x

＞0，
故关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞）．（10分）
（ⅱ）当a＞0时，由f(x)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)知f(2n)=

ln2n

1+2n

+ln(1+

1

2n

)，其中n为正整数，且有ln(1+

1

2n

)＜

a

2

?

1

2n

＜e

n

2

-1?n＞-log2(e

n

2

-1)．（12分）
又n≥2时，

ln2n

1+2n

=

nln2

1+(1+1)n

＜

nln2

n(n-1) 2

=

2ln2

n-1

．
且

2ln2

n-1

＜

a

2

?n＞

4ln2

n

+1．
取整数n₀满足n0＞-log2(e

n

2

-1)，n0＞

4ln2

a

+1，且n₀≥2，
则f(2n0)=

n0ln2

1+2n0

+ln(1+

1

2n0

)＜

a

2

+

a

2

=a，
即当a＞0时，关于x的不等式f（x）≥a的解集不是（0，+∞）．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在a，使得关于x的不等式f（x）≥a的解集为（0，+∞），且a的取值范围为（-∞，0]．

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．