Question

（2012•孝感模拟）已知f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

．
（I）求f（

17π

12

）的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若f（c）=

3

+1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

分析：（I）利用多项式乘以单项式的法则将函数解析式化简，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，然后利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，将x=

17π

12

代入化简后的式子中计算，即可得到所求的函数值；
（II）由第一问求出的函数解析式及f（C）=

3

+1，求出cos（C-

π

6

）的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为直角，得到三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理得到c²=a²+b²，再将b²=ac代入，整理后得到关于

a

c

的芙蓉城，求出方程的解得到

a

c

的值，利用锐角三角函数定义即可求出sinA的值．

解答：解：（I）f（x）=（2

3

cos

x

2

+2sin

x

2

）cos

x

2

=2

3

cos²

x

2

+2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）+sinx
=

3

cosx+sinx+

3

=2cos（x-

π

6

）+

3

，
则f（

17π

12

）=2cos（

17π

12

-

π

6

）+

3

=2cos

5π

4

+

3

=

3

-

2

；
（II）∵f（C）=

3

+1，
∴2cos（C-

π

6

）+

3

=

3

+1，即cos（C-

π

6

）=

1

2

，
又C为三角形的内角，
∴C=

π

2

，又b²=ac，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：c²=a²+b²=a²+ac，
∴（

a

c

）²+

a

c

-1=0，
解得：

a

c

=

-1± 5

2

，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=

a

c

=

5 -1

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的余弦函数公式，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．