题目内容
如图， 在三棱锥
中，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，
，当三棱锥的体积最大时，求
的长．
（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）利用已知条件先证明
平面
，然后再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息说明
平面
，将
视为三棱锥
的高，设
，将底面积用
表示出来，最后将三棱锥用以的代数式进行表示，并结合基本不等式求最大值；方法2：由于
为直角三角形，将的面积用以
为自变量的三角函数表示，最终将三棱锥的体积用三角函数进行表示，最后利用三角函数的相关方法求体积的最大值.
试题解析：（1）证明：因为
，所以
，
． 1分
因为
，所以平面．
2分
因为
平面，所以
．
3分
因为
，所以
．
4分
因为
，所以平面．
5分
因为平面
，所以平面平面．
6分
（2）方法1：由已知及（1）所证可知，平面，，
所以是三棱锥的高．
7分
因为
，
，设
， 8分
所以
． 9分
因为
10分
11分
．
12分
当且仅当
，即
时等号成立．
13分
所以当三棱锥的体积最大时，
．
14分
方法2：由已知及（1）所证可知，平面，
所以是三棱锥的高．
7分
因为，设
，
8分
则
，
．
9分
所以
．
10分
所以
．
11分
因为
，
所以当
，
有最大值
．
12分
此时
．
13分
所以当三棱锥的体积最大时，．
14分
考点：平面与平面垂直的判定，锥体体积的计算，基本不等式，三角函数的最值.
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如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
；
的大小；
到平面
的距离．
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
中点．
平面
；
的余弦值． （本题12分）
中，
两两垂直且相等，过
的中点
作平面
∥
，且
于
，交
的延长线于
．
平面
；
，求二面角
的余弦值.
中，已知点
、
、
分别为棱
、
、
的中点.
∥平面
；
，
，求证：平面
⊥平面
中，
，
为
中点。（1）求证：
平面
上是否存在一点
，使二面角
的平面角的余弦值为
？若存在，确定