Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）．求证：方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，可证得g（x）=0的判别式△＞0，再根据零点存在定理进行判断，证g（x₁）•g（x₂）＜0及g（x）图象连续，从而可知g（x）在区间（x₁，x₂） 内必有零点，由此即可得到结论．

解答：证明：令g（x）=f（x）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=ax²+bx+c-

1

2

[f（x₁）+f（x₂），
因为△=b2-4a[c-

f(x1)+f(x2)

2

]=b²-4ac+2a[f（x₁）+f（x₂）]=b²-4ac+2a[ax12+bx1+c+ax22+bx2+c]=[b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2，
又x₁＜x₂，所以△＞0，
所以g（x）=0有两个不等实根，即方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根；
而g（x₁）=f（x₁）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=-

f(x2)-f(x1)

2

，g（x₂）=f（x₂）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

f(x2)-f(x1)

2

，
∴g（x₁）•g（x₂）=-

1

4

[f（x₂）-f（x₁）]²＜0．
再由g（x）的图象是连续的，可得g（x）在区间（x₁，x₂） 内必有零点，即 f（x）-

f(x1)+f(x2)

2

=0在区间（x₁，x₂） 内必有实数根．
综上可得，方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根，且必有一个属于（x₁，x₂）．

点评：本题考查根的存在性及根个数的判断、二次函数的性质，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．