Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）设函数，求函数的单调区间；

（3）若，在上存在一点，使得成立，

求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）或.

【解析】试题分析：（1）中求的是在x=1的切线方程，所以直接出函数在x=1的导数，和切点即可解决。（2）求单调性区间，先注意定义域，再求导数等于0的根，一般对于含参的问题，我们先看是否能因式分解。（3）存在成立，先变形为，从而构造函数在上的最小值.同时注意第（2）问己求对本问的应用。

试题解析：

（1）当时， ，切点，

所以，所以，

所以曲线在点处的切线方程为： ，即.

（2），定义域为，

，

①当，即时，令，因为，所以.

令，因为，所以.

②当，即，令恒成立，

综上，当时， 唉上单调递减，在上单调递增，

当时， 在上单调递增.

（3）由题意可知，在上存在一点，使得成立，

即在上存在一点，使得，

即函数在上的最小值.

由第（2）问，

①当，即时， 在上单调递减，

所以，所以，因为，所以；

②当，即时， 在上单调递增，

所以，所以；

③当，即时， ，

因为，所以，所以，

此时不存在使得成立.