Question

已知椭圆的一个顶点为（-2，0），焦点在x轴上，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，O为原点，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，由题意得．由此能求出所求椭圆的标准方程．
（2）将直线l：y=x+b代入椭圆中有3x²+4bx+2b²-4=0，由根的判别式求出b的取值范围，再由韦达定理求出，然后由点O到直线l的距离求出△AOB的面积，由此能求出所求的直线方程．
解答：解：（1）设椭圆方程为，由题意得
∴∴b²=a²-c²=2所以所求椭圆的标准方程为
（2）将直线l：y=x+b代入椭圆中有3x²+4bx+2b²-4=0
由△=（4b）²-4×3（2b²-4）=-8b²+48＞0得
由韦达定理得∴
又点O到直线l的距离∴
∴当b²=3（满足）时，S_△ABC有最大值．此时
∴所求的直线方程为
点评：本题考查直线圆锥曲线的位置关系和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．