Question

已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c为常数且a，b，c∈Q）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0．
（I）求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求函数h（x）=f（x）-1的单调递减区间，并证明：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…

lnn

n

＜

1

n

．

Answer 1

分析：（I）题目给出了函数在x=e处的切线方程，则知道了f′（e），再由切线过切点三个式子联立可求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）根据函数g（x）=x²+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，说明该函数在区间（1，3）内一定有极值，求出函数的导函数为g′（x）=

1

x

（2x2-mx+m），此导函数等于0可转化为二次方程2x²-mx+m=0，然后分该方程有一个实数根和两个实数根分类讨论，对每一种情况结合二次函数的图象列式可求m的范围；
（Ⅲ）把f（x）代入后求出函数h（x）的导函数，由导函数小于等于0求得函数h（x）的减区间为[1，+∞），根据函数在[1，+∞）上是减函数，则lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）都成立，两边同时除以x后得0＜

lnx

x

＜

1-x

x

对一切x∈（1，+∞）都成立，再利用放缩法证明不等式．

解答：解：（I）由f（x）=ax+blnx+c知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a+

b

x

，
又f（x）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0，而切线（e-1）x+ey-e=0的斜率为-

e-1

e

，
所以有f′（e）=a+

b

e

=-

e-1

e

，即（b-1）+（a+1）e=0，由a，b，c∈Q，得a=-1，b=1，（否则e=

1-b

a+1

∈Q矛盾），又有切线方程知，f（e）=2-e，得出c=1，∴a=-1，b=1，c=1

（Ⅱ）由（1）知f（x）=-x+lnx+1（x＞0），
因此，g（x）=x²+mf（x）=x²-mx+mlnx+m （x＞0），
所以g′（x）=2x-m+

m

x

=

1

x

（2x²-mx+m） （x＞0）．
要使函数g（x）在（1，3）内不是单调函数，则函数g（x）在（1，3）内一定有极值，
而gg′（x）=

1

x

（2x²-mx+m），所以函数g（x）最多有两个极值．
令d（x）=2x²-mx+m （x＞0）．
（ⅰ）当函数g（x）在（1，3）内有一个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有且仅有一个根，
即d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根，
又因为d（1）=2＞0，当d（3）=0时，即m=9时，d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有且仅有一个根x=

3

2

，
当d（3）≠0时，应有d（3）＜0，即2×3²-3m+m＜0，解得m＞9．所以有m≥9．
（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有两个不等根，

（ⅱ）当函数g（x）在（1，3）内有两个极值时，g′（x）=0在（1，3）内有两个根，
即二次函数d（x）=2x²-mx+m 在（1，3）内有两个不等根，
所以

△=(-m)2-4×2×m＞0 d(1)=2-m+m＞0 d(3)=2×32-3m+m＞0 1＜ m 4 ＜3

，
解得：8＜m＜9．

综上，实数m的取值范围是m≥8．

（Ⅲ）由h（x）=f（x）-1得：h（x）=-x+lnx （x＞0），所以h′（x）=

1-x

x

，
令h′（x）≤0，即

1-x

x

≤0，得：x≥1，即h（x）的单调递减区间为[1，+∞）．
事实上，
由函数h（x）=-x+lnx （x＞0）在[1，+∞）上单调递减可知，
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1），即-x+lnx＜-1，
亦即lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）都成立，
不等式两边同时除以x，
亦即0＜

lnx

x

＜

1-x

x

对一切x∈（1，+∞）都成立，
所以

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…

lnn

n

＜

1

2

×

2

3

×

3

4

ו•×

n-1

n

=

1

n

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间（a，b）内存在极值，则函数在该区间内不是单调函数，考查了函数在某点处取得极值的条件，函数在某点处取得极值，则函数在该点处的导数等于0，反之，函数在某点处的导数等于0，该点不一定是极值点，训练了利用放缩法证明不等式．此题具有一定难度