Question

函数y=f （x ）=-x³+ax²+b（a，b∈R ），
（Ⅰ）要使y=f（x）在（0，1）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，若函数满足y_极小值=1，y_极大值=，求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ），
要使f（x）在(0，1)上单调递增，
则x∈(0，1)时，f′（x）≥0恒成立，
∴≥0，
即当x∈(0，1)时，≥恒成立，
∴≥，即a的取值范围是[∞。
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0或=，
∵a＞0，∴当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

∴y_极小值=f（0）=b=1，y_极大值==+·+1=，
∴b=1，a=1，
故f（x）=。
（Ⅲ）当x∈[0，1]时，tanθ=，
由θ∈[0，]，得0≤f′（x）≤1，
即x∈[0，1]时，0≤≤1恒成立，
当x=0时，a∈R，
当x∈(0，1]时，由≥0恒成立，
由(Ⅰ)知≥，
由≤1恒成立，a≤(3x+)，
∴≤(等号在=时取得)；
综上，≤≤。