题目内容

已知函数f（x）=elnx+ $数学公式$ （其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x=x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[ $数学公式$ ，1]上的最大值；
（III）设函数g（x）=f（x）-kx在区间（ $数学公式$ ，e）上是减函数，求k的取值范围．

解：（I）由已知f'（x₀）=0，即 $\text{[math]}$ ，（2分）
∴ $\text{[math]}$ ，又f（x₀）=0，即 $\text{[math]}$ ，∴k=1．（4分）

（II） $\text{[math]}$ ，
∵1≤k≤e，∴ $\text{[math]}$ ，（6分）
由此得 $\text{[math]}$ 时，f（x）单调递减；
$\text{[math]}$ 时，f（x）单调递增
故 $\text{[math]}$ （8分）
又 $\text{[math]}$
当ek-e＞k，即 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
当ek-e≤k，即 $\text{[math]}$ 时，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III） $\text{[math]}$ ，
∵g（x）在 $\text{[math]}$ 在是减函数，
∴g'（x）≤0在 $\text{[math]}$ 上恒成立
即 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，（12分）
又 $\text{[math]}$ 当且仅当x=1时等号成立．
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （14分）
解法二；（I），（II）同解法一

（III） $\text{[math]}$ ，
∵g（x）在 $\text{[math]}$ 是减函数，
∴g'（x）≤0在 $\text{[math]}$ 上恒成立
即 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，从而 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上恒成立．（12分）
不妨设 $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：利用导数工具研究函数的极值，单调性与最值问题．
（1）x₀是极值点导数值为0，函数值也为0，解方程得k．
（2）函数在闭区间上的最值：先利用导数判断单调性，后求最值．
（3）函数在区间上是减函数故其导数在该区间上≤0恒成立，故可解得k的范围．
点评：本题关键是要明确导数在函数的单调性，极值，最值中的应用．