题目内容

已知点P是双曲线 $数学公式$ 右支上一点，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点．I为△PF₁F₂内心，若 $数学公式$ ，则双曲线的离心率为________．

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分析：设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形．利用三角形面积公式，代入已知式 $\text{[math]}$ ，化简可得|PF₁|-|PF₂|= $\text{[math]}$ |F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．
解答：

解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁、PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它们分别是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×|PF₁|×|IF|= $\text{[math]}$ |PF₁|，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×|PF₂|×|IG|= $\text{[math]}$ |PF₂|
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×|F₁F₂|×|IE|= $\text{[math]}$ |F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ |PF₁|= $\text{[math]}$ |PF₂|+ $\text{[math]}$ |F₁F₂|
两边约去 $\text{[math]}$ 得：|PF₁|=|PF₂|+ $\text{[math]}$ |F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c?离心率为e= $\text{[math]}$ =2
故答案为：2．
点评：本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．