题目内容
数列{an}，{bn}分别满足
（n∈N*），a1=1（1）求证数列
为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）求数列
的前n项和Sn；（3）若数列{an}的前n项和为Kn，求证：当n≥3时，
．
【答案】分析：（1）先根据
，两边取倒数等号也成立，进而可得
，进而推断数列
为等比数列，且首项为2，公比为2，进而求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可得数列
的通项公式，再利用错位相减法，求得Sn
（3）由（1）中的an可得Kn，又根据
，代入Kn，即可证明原式．
解答：解：（1）证明：∵
∴
∵数列
是以
为首项，2为公比的等比数列，
所以
可得
（2）由（1）可知
，
所以Sn=1•21+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n，2Sn=1•22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减化简可得，Sn=2+（n-1）•2n+1
（3）n≥3，
，
可得n≥3，
，此时
点评：本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题．
，两边取倒数等号也成立，进而可得，进而推断数列为等比数列，且首项为2，公比为2，进而求得数列{an}的通项公式；（2）由（1）可得数列
的通项公式，再利用错位相减法，求得Sn（3）由（1）中的an可得Kn，又根据
，代入Kn，即可证明原式．解答：解：（1）证明：∵
∴
∵数列
是以为首项，2为公比的等比数列，所以
可得（2）由（1）可知
，所以Sn=1•21+2•22+3•23++（n-1）•2n-1+n•2n，2Sn=1•22+2•23+3•24++（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减化简可得，Sn=2+（n-1）•2n+1
（3）n≥3，
，可得n≥3，
，此时点评：本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用，属基础题．
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