Question

设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x-3

x-2

≤0．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答：解：由（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
由

x-3

x-2

≤0解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即

2＜x≤3 1＜x＜3

，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴

3a＞3 a≤2

，即

a＞1 a≤2

，
解得1＜a≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，