Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的-个“好区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=sinx；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=x³-3x；
④f（x）=lgx+l．
其中存在“好区间”的函数是______．  （填入相应函数的序号）

Answer 1

①函数f（x）=sinx在[-

π

2

，

π

2

]上是单调增函数，若函数在[-

π

2

，

π

2

]上存在“好区间”[a，b]，
则必有sina=a，sinb=b．
即方程sinx=x有两个根，令g（x）=sinx-x，g^′（x）=cosx-1≤0在[-

π

2

，

π

2

]上恒成立，
所以函数g（x）在[-

π

2

，

π

2

]上为减函数，则函数g（x）=sinx-x在[-

π

2

，

π

2

]上至多有一个零点，
即方程sinx=x在[-

π

2

，

π

2

]上不可能有两个解，又因为f（x）的值域为[-1，1]，所以当x＜-

π

2

或x＞

π

2

时，
方程sinx=x无解．
所以函数f（x）=sinx没有“好区间”；
②对于函数f（x）=|2^x-1|，该函数在[0，+∞）上是增函数，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]时，
f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的一个“好区间”；
③对于函数f（x）=x³-3x，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）．
当x∈（-1，1）时，f^′（x）0．
所以函数f（x）=x³-3x的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1）．
取M=[-2，2]，此时f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
所以函数f（x）=x³-3x在M=[-2，2]上的值域也为[-2，2]，则M=[-2，2]为函数的一个“好区间”；
④函数f（x）=lgx+1在定义域（0，+∞）上为增函数，若有“好区间”
则lga+1=a，lgb+1=b，也就是函数g（x）=lgx-x+1有两个零点．
显然x=1是函数的一个零点，
由g′(x)=

1

xln10

-1＜0，得x＞

1

ln10

，函数g（x）在(

1

ln10

，+∞)上为减函数；
g′(x)=

1

xln10

＞0，得x＜

1

ln10

．函数在（0，

1

ln10

）上为增函数．
所以g（x）的最大值为g（

1

ln10

）＞g（1）=0，
则该函数g（x）在（0，

1

ln10

）上还有一个零点．
所以函数f（x）=lgx+1存在“好区间”．
故答案为②③④．