题目内容

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a、b、cÎR)，满足条件：（1）对于任意实数xÎR，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)³x；（2）xÎ(0，2)时，有f(x)£；（3）f(x)在R上的最小值为0．求最大的m(m>1)，使得存在tÎR，只要kÎ[1，m]就有f(x+t)£x．

 

答案：
解析：

∵ f(x-4)=f(2-x)  ∴ 函数图像的对称轴为x=-1．∴ b=2a

∵ 由（3）得x=-1时，f(-1)=0，∴a-b+c=0

由（1）得f(1)³1，由（2）得f(1)£1，∴ 1£f(1)£1  ∴f(1)=1，即a+b+c=0

∴ b=，a=c=  ∴f(x)=

假设存在tÎR，只要xÎ[1，m]就有f(x+t)£x，即(x+t+1)2£x

x2-2(1-t)x+(t+1)2£0，在xÎ[1，m]上恒成立，g(x)=x2-2(1-t)x+(t+1)2

；即(t+1)2+(t+1)+£1，解得-4£t£0；

即(t+m)2+(t+m)+£m，

化简有解得1-t-£m£1-t+，于是有m£1-(-4)+=9

当t=-4时，对任意的xÎ[1，9]，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)£0．

所以所求m的最大值为9．

 


练习册系列答案
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设二次函数f(x)=x2+x+c(c＞
1
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)的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x2-x1的取值范围为（　　）
A、（0，1）
B、(0，
2
2
)
C、(
1
2
，
2
2
)
D、(
2
2
，1)
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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-a1
)+log3(
1
1
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-a2
)+…+log3(
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1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
1
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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1
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-a1
)+log3(
1
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-a2
)+…+log3(
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1
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-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当an∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(
1
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-an)+lg2}是等比数列．

设二次函数f(x)=x2－x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m－1)的值为(    )

A.正数          B.负数   　　C.非负数              D.正数、负数和零都有可能

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