题目内容

已知函数f（x）=e^x-x（e是自然对数的底数）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）不等式f（x）＞ax的解集为P，若 $数学公式$ ，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知 $数学公式$ ，是否存在等差数列a_n和首项为f（1）公比大于0的等比数列b_n，使数列a_n+b_n的前n项和等于S_n．

解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，解得x=0
当x＞0时，f'（x）＞0
当x＜0时，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，+∞）连续，故f_min（x）=f（0）=1
（Ⅱ）∵M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在区间 $\text{[math]}$ 有解，
f（x）＞ax可化为（a+1）x＜e^x只需 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 有解
令 $\text{[math]}$
即a＜g_max（x）∵ $\text{[math]}$ 故g（x）在区间 $\text{[math]}$ 递减，在区间[1，2]递增
又 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
所以，实数a的取值范围为 $\text{[math]}$

（Ⅲ）设存在公差为d首项等于f（1）的等差数列a_n
和公比q大于0的等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n
∵ $\text{[math]}$
b₁=f（1）=e-1
∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$
又n≥2a_n+b_n=S_n-S_n-1=e^n-1（e-1）- $\text{[math]}$
故n=2，3，有 $\text{[math]}$
即d+（e-1）q=e（e-1）-1①2d+（e-1）q²=e²（e-1）-2②
②-①×2得q²-2q=e²-2e解得；q=e或q=2-e（舍去）
故q=e，d=-1
此时， $\text{[math]}$ 数列a_n+b_n的前n项和等于 $\text{[math]}$
故存在满足题意的等差数列a_n金额等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n
分析：（Ⅰ）求导f'（x）=e^x-1由f'（x）=0，解得x=0，易知当x＞0时，f'（x）＞0当x＜0时，f'（x）＜0故f（x）在x=0处取得最小值．
（Ⅱ）M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在区间 $\text{[math]}$ 有解，转化为 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 有解，只要求得 $\text{[math]}$ 的最大值即可．
（Ⅲ）先设存在公差为d首项等于f（1）的等差数列a_n和公比q大于0的等比数列b_n，使得数列a_n+b_n的前n项和等于S_n
由 $\text{[math]}$ ，再由数列通项与前n项和之间的关系求解，若能求和d和q则为存在，否则为不存在．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，还考查了不等式有解或恒成立问题，以及数列的通项与前n项和及其关系．