Question

已知函数f（x）=

ax-6

x2+b

的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），把M的坐标代入切线方程即可求出f（-1）=-2，代入f（x）中，再根据切线的斜率为-

1

2

得到f′（-1）=-

1

2

，代入到f′（x）中，联立两者求出a与b的值即可得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）把a与b的值代入到f′（x）中求出导函数的解析式，让f′（x）大于0求出x的取值范围即为函数的递增区间；让f′（x）小于0求出x的取值范围即为函数的递减区间．

解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线的方程为x+2y+5=0，
得-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，而根据切线的斜率为-

1

2

得到f′（-1）=-

1

2

，
∵f′（x）=

a(x2+b)-2x(ax-6)

(x2+b)2

，
利用f（-1）=-2和f′（-1）=-

1

2

联立得

-a-6 1+b =-2 a(1+b)+2(-a-6) (1+b)2 =- 1 2

∴解得

a=2 b=3

，把a和b的值代入可得f(x)=

2x-6

x2+3

；
（II）f′（x）=

-2x2+12x+6

(x2+3)2

，由f′（x）＞0得到3-2

3

＜x＜3+2

3

；
由f'（x）＜0得到，x＜3-2

3

或x＞3+2

3

所以函数f（x）在（-∞，3-2

3

），（3+2

3

，+∞）上单调递减，在（3-2

3

，3+2

3

）上单调递增．

点评：此题是一道综合题，要求学生会利用待定系数法求函数的解析式，让学生掌握利用导数求切线方程的斜率及利用导数研究函数的单调性．