Question

已知函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜π）的图象与直线y=b（-1＜b＜0）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4．
（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调递减区间；
（2）设g（x）=f（2x）+f（x），求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象与横轴的三个交点，做出函数的解析式，根据函数的对称性看出函数的一个点的坐标，代入函数的解析式，求出初相的值，写出函数的解析式，根据正弦函数的解析式写出函数的单调区间．
（2）根据上一问做出的函数的解析式，写出函数g（x）的解析式，对三角函数式进行化简整理，得到关于余弦的二次函数，根据二次函数的最值的求法得到结果．

解答：解：（1）依题意得，周期T=4-1=3，所以?=

2π

T

=

2π

3

，
由对称性知，当x=

1+2

2

=

3

2

时，函数取得最小值-1，
∴sin(

2π

3

×

3

2

+?)=-1
所以π+?=

3

2

π，
所以?=

π

2

，所以f(x)=sin(

2π

3

x+

π

2

)．
∵y=sinx的单调减区间是[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
∴2kπ+

π

2

≤

2π

3

x+

π

2

≤2kπ+

3π

2

∴2kπ≤

2x

3

≤2kπ+π
∴3k≤x≤3k+

3

2

所以函数f（x）的单调减区间是[3k，3k+

3

2

]，k∈Z．
（2）由（1）知f(x)=sin(

2π

3

x+

π

2

)=cos

2π

3

x，
所以g(x)=cos(2×

2π

3

x)+cos

2π

3

x=2cos2

2π

3

x+cos

2π

3

x-1，
令cos

2π

3

x=t，则根据余弦函数的值域得到t∈[-1，1]，
所以y=2t2+t-1=2(t+

1

4

)2-

9

8

，
当t=-

1

4

时，函数取得最小值-

9

8

，当t=1时，函数取得最大值2，
所以g（x）的值域为[-

9

8

，2]．

点评：本题考查三角函数的解析式和有关性质，本题解题的关键是正确求出函数的解析式，再进行后面的单调区间和值域的求法，这种题目是高考卷中每一年都要出现，注意题目的开始解析式不要出错，本题是一个中档题目．