Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为

3

5

（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为

3

5

，结合椭圆的性质，可得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

9

25

；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程．
（Ⅱ）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x²-3x-8=0，解可得x₁与x₂的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，椭圆过点（0，4），
将（0，4）代入C的方程得

16

b2

=1，即b=4
又e=

c

a

=

3

5

得

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

9

25

；
即1-

16

a2

=

9

25

，∴a=5
∴C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1

（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为

4

5

的直线方程为y=

4

5

(x-3)，
设直线与C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

+

(x-3)2

25

=1，
即x²-3x-8=0，解得x1=

3- 41

2

，x2=

3+ 41

2

，
∴AB的中点坐标

.

x

=

x1+x2

2

=

3

2

，

.

y

=

y1+y2

2

=

2

5

(x1+x2-6)=-

6

5

，
即中点为(

3

2

，-

6

5

)．

点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决．