Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动，
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。

Answer 1

（1）证明：∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，
∴A₁D⊥D₁E；
（2）解：设点E到面ACD₁的距离为h，
在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，
故，而，
∴，
∴，∴。
（3）解：过D作DH⊥CE于H，连结D₁H、DE，则D₁H⊥CE，
∴∠DHD₁为二面角D₁-EC-D的平面角，
设AE=x，则BE=2-x，
在中，∵，
∴DH=1，
∵在Rt△ADE中，，
∴在Rt△DHE中，EH=x，
在Rt△DHC中，，
在Rt△CBE中，，
∴，
∴时，二面角D₁-EC-D的大小为。