Question

（2005•金山区一模）函数f（x）=

x

ax+b

（a，b是非零实常数），满足f（2）=1，且方程f（x）=x有且仅有一个解．
（1）求a、b的值；
（2）是否存在实常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立？为什么？
（3）在直角坐标系中，求定点A（-3，1）到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据方程f（x）=x，可知x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，从而有方程

1

ax+b

=1无解或有解为0，再进行分类讨论，可求a、b的值；
（2）由（1）知f（x）=

2x

x+2

，假设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，赋值x=0，，可求参数m的值，再验证此时等式恒成立即可；
（3）先表示出|AP|²，再利用换元法，求解时整体考虑，利用配方法求解

解答：解：（1）由f（2）=1得2a+b=2，又x=0一定是方程

x

ax+b

=x的解，
所以

1

ax+b

=1无解或有解为0，（3分）
若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，
若有解为0，则b=1，所以a=

1

2

． （6分）
（2）f（x）=

2x

x+2

，设存在常数m，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，
取x=0，则f（0）+f（m-0）=4，即

2m

m+2

=4，m=-4（必要性）（8分）
又m=-4时，f（x）+f（-4-x）=

2x

x+2

+

2(-4-x)

-4-x+2

=…=4成立（充分性） （10分）
所以存在常数m=-4，使得对定义域中任意的x，f（x）+f（m-x）=4恒成立，（11分）
（3）|AP|²=（x+3）²+（

x-2

x+2

）²，设x+2=t，t≠0，（13分）
则|AP|²=（t+1）²+（

t-4

t

）²=t²+2t+2-

8

t

+

16

t2

=（t²+

16

t2

）+2（t-

4

t

）+2=（t-

4

t

）²+2（t-

4

t

）+10
=（ t-

4

t

+1）²+9，（16分）
所以当t-

4

t

+1=0时即t=

-1± 17

2

，也就是x=

-5± 17

2

时，
|AP|_min=3 （18分）

点评：本题的考点是恒成立问题，主要考查方程解的问题，考查利用赋值法求解恒成立问题，考查函数的最值问题，关键是审清题意，合理转化，注意赋值法求解恒成立问题时，应需要验证其恒成立．