Question

19．已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）将数列{a_n}的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？

Answer 1

分析 （Ⅰ）S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n，得n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{（n-1）^{2}}{2n-1}{a}_{n-1}$，两式相减整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n-3}，（n≥2）$，由此利用累乘法能得到a_n=2n-1．
（Ⅱ）由a_n=2n-1=2015，则n=1008，求出前44行和前45行的值，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n=$\frac{{n}^{2}}{2n-1}$a_n．
∴n≥2时，${S}_{n-1}=\frac{（n-1）^{2}}{2n-1}{a}_{n-1}$，
两式相减整理得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-1}{2n-3}，（n≥2）$，
依次得$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{2n-3}{2n-5}$，$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$=$\frac{2n-5}{2n-7}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{5}{3}$，
上面n-2个等式相乘得$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2n-1}{3}$，
而a₂=3，∴a_n=2n-1，n≥2，
a₁=1也满足该式，∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）a_n=2n-1=2015，则n=1008，
前44行共1+2+3+…+44=$\frac{44（1+44）}{2}$=990，
前45行共1+2+3+…+45=990+45=1035，
∴2015应在第45行，第1008-990=18列．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．