Question

已知f（x）为一次函数，且f（x）=x

∫

2 0

f（t）dt+1，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），求曲线y=g（x）与x轴所围成的区域绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法，结合定积分的定义求函数f（x）的解析式；
（2）求出g（x），应用定积分来求旋转体的体积．

解答：解：（1）设f（x）=kx+b，
∵f（x）=x

∫

2 0

f（t）dt+1，
∴kx+b=x•（

kt2

2

+bt）

|

2 0

+1，
∴kx+b=（2k+2b）x+1，
∴k=-2，b=1，
∴f（x）=-2x+1，；
2）g（x）=xf（x）=-2x²+x，
∴V=π

∫

1 2 0

[xf(x)]2dx=

π

240

．

点评：本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．