Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：在上是单调递减函数；

（2）若函数有两个正零点、，求的取值范围，并证明：.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）实数的取值范围是，证明见解析.

【解析】

（1）由题意得出在区间上恒成立，由得出，构造函数，证明在区间上恒成立即可；

（2）由利用参变量分离法得出，将题意转化为当直线与函数在上有两个交点时求的取值范围，利用数形结合思想求解即可，然后由题意得出，取自然对数得，等式作差得，利用分析得出所证不等式等价于，然后构造函数证明即可.

（1），.

由题意知，不等式在区间上恒成立，

由于，当时，，

构造函数，其中，则，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，

，所以，.

所以，不等式在区间上恒成立，

因此，当时，函数在上是单调递减函数；

（2）令，可得

令，则.

当时，，当时，.

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.

，

当时，，当时..

时，函数有两个正零点，因此，实数的取值范围是.

由上知时，，

由题意得，上述等式两边取自然对数得，

两式作差得，，

要证，即证.

由于，则，即证，

即证，令，即证，其中.

构造函数，其中，即证在上恒成立.

，所以，函数在区间上恒成立，

所以，，因此，.