Question

如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，则这个球的表面积是          。

Answer 1

3πa²

解析:

如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。

在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。

由正弦定理，得  =2r,∴r=a。

又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=,(R－a)²=R² – (a)²，解得R=a,

∴S_球=4πR²=3πa²。