Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D，E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．则A₁B与平面ABD所成角的余弦值（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  7

  3

• D、

  6

  3

Answer 1

分析：根据题意找到线面角，进而把此角放入三角形△EBG中，利用解三角形的有关知识（正弦定理与余弦定理）解决问题即可．

解答：解：连接BG，则BG是BE在面ABD上的所以，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角，
设F为AB中点，连接EF、FG，
∵D、E分别是CC₁、A₁B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，
连接DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，EF²=FG•FD=

1

3

FD²，
设侧棱AA₁=2a
∴EF=a，∴FD=

3

a
于是ED=

2

a，EG=

1× 2

3

=

6

3

a，
∵FC=ED=

2

a，
∴AB=2

2

a，A₁B=2

3

a，EB=

3

a．
∴sin∠EBG=

EG

EB

=

2

3

∴cos∠EBG=

7

3

∴直线A₁B与平面ABD所成角的余弦值为

7

3

．
故选C．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，便于判断线面的位置关系以及解决空间角与空间距离等问题．