Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，Q为双曲线左准线上的点，且QF交双曲线于第一象限一点P，若O为坐标原点，且OP垂直平分FQ，则双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

分析：根据题意可推断出F和Q的坐标，表示出其中点的坐标，代入双曲线方程求得y，利用换元法令e-

1

e

=t 利用k*k'=-1求得a，b和e的关系，最后整理成关于e的一元二次方程求得答案．

解答：解：离心率 e=

c

a

左准线 x=

-a2

c

=-

a

e

右焦点 （c，0） Q（ae，0）
P 是FQ中点，所以 P 点横坐标
x=

1

2

（-

a

e

+ae）=

1

2

a（e-

1

e

）
代入到双曲线方程，考虑P在第一象限，得到纵坐标
y=b

x2 a2 -1

=

b

2

(e- 1 e ) 2-4

设 e-

1

e

=t
x=

at

2

y=

b

2

•

t2-4

PF斜率 k=

b 2 t2-4

at 2 -ae

，
OP 斜率
k'=

b

2

t2-4 at 2

PF 与 OP 垂直
k  k'=-1，（

b

a

）²  （t²-4）=t（2e-t）
其中

b2

a2

=e₂-1
把 t 表达式代回 
整理得e²+

1

e2

-6=1+

1

e2

求得e²=7
∴e=

7

故答案为：

7

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生综合把握基础知识的能力，基本的运算的能力．