Question

已知函数f（x）=lg

1+2x+4x•a

a2-a+1

，其中a为常数，若当x∈（-∞，1]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由题设知

1+2x+4x•a

a2-a+1

＞0，且a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

＞0，故1+2x+4x•a＞0，a＞-（

1

4x

+

1

2 x

），由此能求出a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=lg

1+2x+4x•a

a2-a+1

，其中a为常数，
∴

1+2x+4x•a

a2-a+1

＞0，且a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴1+2^x+4^x•a＞0，a＞-（

1

4x

+

1

2 x

），
当x∈（-∞，1]时，y=

1

4x

+

1

2 x

是减函数，
∴y=-（

1

4x

+

1

2 x

）在（-∞，1]上是增函数，
-（

1

4x

+

1

2 x

）≤-

3

4

，
∴a＞-

3

4

，故a的取值范围是（-

3

4

，+∞）．

点评：本题考查对数函数的性质的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．