Question

设F₁，F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的焦距；
（Ⅱ）如果

AF2

=2

F2B

，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过F₁作F₁⊥l可直接根据直角三角形的边角关系得到

3

c=2

3

，求得c的值，进而可得到焦距的值．
（Ⅱ）假设点A，B的坐标，再由点斜式得到直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，求出两根，再由

AF2

=2

F2B

可得y₁与y₂的关系，再结合所求得到y₁与y₂的值可得到a，b的值，进而可求得椭圆方程．

解答：解：（Ⅰ）设焦距为2c，由已知可得F₁到直线l的距离

3

c=2

3

，故c=2．
所以椭圆C的焦距为4．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＜0，y₂＞0，直线l的方程为y=

3

(x-2)．
联立

y= 3 (x-2) x2 a2 + y2 b2 =1

得(3a2+b2)y2+4

3

b2y-3b4=0．
解得y1=

- 3 b2(2+2a)

3a2+b2

，y2=

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
因为

AF2

=2

F2B

，所以-y1=2y2．
即

3 b2(2+2a)

3a2+b2

=2•

- 3 b2(2-2a)

3a2+b2

．
得a=3．而a2-b2=4，所以b=

5

．
故椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

5

=1．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质．考查考生对椭圆基本性质的理解和认知，椭圆的基本性质是高考的重点内容，每年必考，一定要熟练掌握并能灵活运用．