题目内容

设F₁，F₂分别为椭C： $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆C上的点 $数学公式$ 到两点的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点 $数学公式$ 求|PQ|的最大值．

解：（Ⅰ）∵椭圆C上的点A（1， $\text{[math]}$ ）到椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）两焦点F₁，F₂的距离之和等于4，
∴2a=4，a=2．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴b²=3，
∴椭圆的方程为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，其焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0）；
（Ⅱ）设P（2cosθ， $\text{[math]}$ sinθ），
∵Q（0， $\text{[math]}$ ），
∴|PQ|²=4cos²θ+ $\text{[math]}$
=4-4sin²θ+3sin²θ- $\text{[math]}$ sinθ+ $\text{[math]}$
=-sin²θ- $\text{[math]}$ sinθ+ $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ +5≤5．
∴|PQ|的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）依题意可求得a=2，b²=3，从而可求得椭圆C的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）利用椭圆的参数方程，利用配方法与正弦函数的性质即可求得|PQ|的最大值．
点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查椭圆的参数方程及两点间的距离，考查配方法与最值问题，属于难题．