Question

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）

     如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，

   （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；

   （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。

Answer 1

（本题12分）

解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF

是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，

则由AC=AD，知AG⊥CD，从而

由

故四面体ABCD的体积

   （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。

    在

    在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以

    在Rt△DEF中，

    解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。

    设点B的坐标为，有

   

    即点B的坐标为

    又设点D的坐标为有

   

    即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为

    又

    故四面体ABCD的体积

   （II）由（I）知

    设非零向量是平面ABD的法向量，则由有

        （1）

    由，有

        （2）

    取，由（1），（2），可得

    显然向量是平面ABC的法向量，从而

   

    即二面角C—AB—D的平面角的正切值为