Question

设A、B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点（A、O、B不共线）．
（1）求证：

OA

+

OB

与

OA

-

OB

垂直；
（2）若单位圆交x轴正半轴于C点，且∠COA=

π

4

，∠COB=θ，θ∈（-

π

4

，

π

4

），

OA

•

OB

=

4

5

，求cosθ．

Answer 1

分析：（1）欲证

OA

+

OB

与

OA

-

OB

垂直，只需证明（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0即可；
（2）根据

OA

•

OB

=

4

5

可求出cos（θ-

π

4

），然后根据cosθ=cos[（θ-

π

4

）+

π

4

]，利用余弦的两角和公式进行求解．

解答：（1）证明：由题意知|

OA

|=|

OB

|=1，
∴（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=

OA

²-

OB

²
=|

OA

|²-|

OB

|²=1-1=0，
∴

OA

+

OB

与

OA

-

OB

垂直．
（2）解：

OA

=（cos

π

4

，sin

π

4

），

OB

=（cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OB

=cos

π

4

cosθ+sin

π

4

sinθ=cos（θ-

π

4

），
∵

OA

•

OB

=

4

5

，∴cos（θ-

π

4

）=

4

5

，
∵-

π

4

＜θ＜

π

4

，
∴-

π

2

＜θ-

π

4

＜0，
∴sin（θ-

π

4

）=-

1-cos2(θ- π 4 )

=-

3

5

，
∴cosθ=cos[（θ-

π

4

）+

π

4

]
=cos（θ-

π

4

）cos

π

4

-sin（θ-

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-（-

3

5

）×

2

2

=

7 2

10

．

点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及同角三角函数和两角和的余弦公式，同时考查了计算能力，属于中档题．