Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个角，则（　　）

A．f（sinα）＞f（sinβ）

B．f（sinα）＜f（sinβ）

C．f（sinα）＞f（cosβ）

D．f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析：由题意可得函数为周期等于2的周期函数，且函数在[0，1]上是增函数．再由α+β＞

π

2

，即 α＞

π

2

-β，可得 1＞sinα＞cosβ＞0，故有 f（sinα）
＞f（cosβ），从而得出结论．

解答：解：定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），可得 f（x+2）=f（x），故函数为周期等于2的周期函数．
再由函数在[-3，-2]上是减函数，可得函数在[2，3]上是增函数，根据周期性可得函数在[0，1]上是增函数．
由于α，β是锐角三角形的两个角，可得 α+β＞

π

2

，即 α＞

π

2

-β，∴1＞sinα＞sin（

π

2

-β）=cosβ＞0，
故有 f（sinα）＞f（cosβ），
故选C．

点评：本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性、周期性的应用，属于中档题．