Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点，
(Ⅰ)求证：DM∥平面PCB；
(Ⅱ)求直线AD与PB所成角；
(Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积．

Answer 1

解：(Ⅰ)取PB的中点F，连接MF，CF， ∵M，F分别为PA，PB的中点， ∴MF∥AB，且， ∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD， ∴MF∥CD且MF=CD， ∴四边形CDFM是平行四边形， ∴DM∥CF， ∵CF平面PCB， ∴DM∥平面PCB。 (Ⅱ)取AD的中点G，连接PG，GB，BD， ∵PA=PD， ∴PG⊥AD， ∵AB=AD，且∠DAB=60°， ∴△ABD是正三角形，BG⊥AD， ∴AD⊥平面PGB， ∴AD⊥PB，即直线AD与PB所成角的是90°。 (Ⅲ) VP-MBD=VB-PMD， 。