Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+bx2+cx+d的图象过点（0，3），且在（-∞，-1）和（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在R上的极值．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上为增函数，在（-1，3）上为减函数，说明x=-1，x=3是f'（x）=0的两个根，求导后解方程即可；
（2）利用导数求极值，先求函数的导函数，令导函数等于0，解出x的值，为函数的极值点，由已知可得x=-1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点，然后把极值点代入原函数，求出函数值即可．

解答：解：（1）∵f（x）的图象过点（0，3），
∴f（0）=d=3
∴f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+3，
∴f'（x）=x²+2bx+c
又由已知得x=-1，x=3是f'（x）=0的两个根，
∴

-1+3=-2b -1×3=c

∴

b=-1 c=-3

故f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3…（8分）
（2）由已知可得x=-1是f（x）的极大值点，x=3是f（x）的极小值点
∴f（x）_极大值=f(-1)=

14

3

f（x）_极小值=f（3）=-6…（12分）

点评：本题主要考查了应用导数求函数的极值、导数在函数中的应用，极值的意义，解题时要透彻理解函数与其导函数的关系，熟练运用消元化简的技巧提高解题效率