Question

【题目】在平面直角坐标系中，设椭圆（）的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：的切线l，过点O且垂直于的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在，证明见解析.

【解析】

（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得，，，则椭圆方程可求；

（2）设（），当时和时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当时，求出过点O且垂直于的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上.

（1）由题意得：，，又，

联立以上可得：，，.∴椭圆C的方程为；

（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为，不妨取，

设（），则，

∴过原点且与垂直的直线方程为，

当时，过P点的圆的切线方程为，

过原点且与垂直的直线方程为，联立，解得：，

代入椭圆方程成立；

同理可得，当时，点A在椭圆上；

当时，联立，

解得，，

所在直线方程为.

此时原点O到该直线的距离，

∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上.

综上可得，点A在椭圆C上.