Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；

（Ⅱ）判断方程（为的导数）在区间内的根的个数，说明理由；

（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导.根据导数的几何意义可得.

（Ⅱ）设， .

由的单调性及因为， ,可知有且只有一个，使成立.即方程在区间内有且只有一个实数根.

（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.

由的单调性可知函数在处取得极大值.

当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.

若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，

则只需满足： .即可得到的取值范围

试题解析：

（Ⅰ）. .

（Ⅱ）设， .

当时， ，则函数为减函数.

又因为， ,

所以有且只有一个，使成立.

所以函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根.

（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.

因为当时，函数为减函数，所以在上， ，即成立，函数为增函数；

在上， ，即成立，函数为减函数.

则函数在处取得极大值.

当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.

由于 ，显然.

若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，

则只需满足：

.即，解得.