Question

已知函数f(x)=alnx-

1

x

，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数．
（Ⅱ）导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间
（Ⅲ）用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于f′(x)=

ax+1

x2

．
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f'（x）=0，得x=-

1

a

∈(0，+∞)．
当x∈(0，-

1

a

)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈(-

1

a

，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅲ）当a=1时，f(x-1)=ln(x-1)-

1

x-1

x∈[2，+∞）．
令g(x)=ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5．g′(x)=

1

x-1

+

1

(x-1)2

-2=-

(2x-1)(x-2)

(x-1)2

．
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．
所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．
即ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5≤0．
故当a=1，且x≥2时，f（x-1）≤2x-5成立．

点评：本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间；用导数求最值，证明不等式．