Question

设函数f（x）=x³-

1

2

x²-2x+m，若f（x）在[0，2]上没有零点，则实数m的取值范围为

m＜-2或m＞

3

2

．

Answer 1

分析：由于函数f（x）在[0，2]上没有零点，则函数在区间[0，2]上恒为正或恒为负求出函数在区间上的最大值与最小值，令其同为正或同为负即可．

解答：解：由于f（x）=x³-

1

2

x²-2x+m，则f'（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，则x=-

2

3

或x=1
又由f（x）在[0，2]上没有零点，则函数在区间[0，2]上恒为正或恒为负
故

f(0)=m＞0   f(2)=2+m＞0   f(1)=- 3 2 +m＞0

或

f(0)=m＜0   f(2)=2+m＜0   f(1)=- 3 2 +m＜0

解得：m＞

3

2

或m＜-2
故答案为：m＞

3

2

或m＜-2．

点评：本题主要考查与函数导数有关的参数取值范围问题，属于基础题．