Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N^*，证明：

n

k=1

(

k

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，求出极值点为x=0，f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，则当x=0时，f（x）取得最小值
（2）由{x|0≤x≤2}⊆P可知将题目转化成f（x）＞ax在（0，2）上恒成立，利用参数分离法变形为a＜

ex

x

-1，求出g (x)=

ex

x

-1的最小值即可
（3）由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x=-

i

n

(n∈N*，i=1，2，，n-1)便可得到不等关系，将n项求和可得结论．

解答：（Ⅰ）解：f（x）的导数f'（x）=e^x-1．
令f'（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）解：因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立．
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜e^x．
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜e^x变形为a＜

ex

x

-1，
令g (x)=

ex

x

-1，则g（x）的导数g′ (x)=

(x-1)ex

x2

，
令g'（x）＞0，解得x＞1；令g'（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
实数a的取值范围是（-∞，e-1）．
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．
令x=-

i

n

(n∈N*，i=1，2，，n-1)，则0＜1-

i

n

＜e-

i

n

．∴(1-

i

n

)n＜(e-

i

n

)n=e-i（i=1，2，，n-1），
即(

n-i

n

)n＜e-i（i=1，2，，n-1）．∴

n

k=1

(

k

n

)n=(

1

n

)n+(

2

n

)n++(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜e-(n-1)+e-(n-2)++e-1+1．∵e-(n-1)+e-(n-2)++e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，∴

n

k=1

(

k

n

)n＜

e

e-1

．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的最值问题，恒成立问题的转化，以及不等式的证明．